2020-04-03

【基礎を解説】中学1年数学《文字と式》「16．文字を使った式」

中学1年数学

16．文字を使った式

例

1．次の数量を文字を使った式で表しましょう．

⑴　1個300円のケーキを x 個買ったときの代金

300× x（円）

（代金）＝（ケーキ1個の値段）×（個数）

これを，与えられた数と文字を使った式にする

⑵　100円のおにぎりを x 個と150円のジュースを y 個買ったときの代金

100× x　＋　150× y（円）

＜例題＞

1．次の数量を文字を使った式で表しましょう．

⑴　男子y人，女子20人のクラスの全体の人数

⑵　a ⅿのテープを3等分したときの1本分の長さ

⑶　1個50円の消しゴムを x 本買って，500円出した時のおつり

⑷　縦がa ㎝，横がb ㎝の長方形の面積

⑸　a ㎞の道のりを，時速 x ㎞で2時間走った時の残りの道のり

解答

1．次の数量を文字を使った式で表しましょう．

⑴　男子y人，女子20人のクラスの全体の人数

y＋20　（人）

⑵　a ⅿのテープを3等分したときの1本分の長さ

a ÷3　（ⅿ）

⑶　1個50円の消しゴムを x 本買って，500円出した時のおつり

500－50× x　（円）

⑷　縦がa ㎝，横がb ㎝の長方形の面積

a×b　（㎠）

⑸　a ㎞の道のりを，時速 x ㎞で2時間走った時の残りの道のり

a－x×2　（㎞）

【重要】速さ・時間．道のりの関係

速さ×時間＝道のり

道のり÷時間＝速さ

道のり÷速さ＝時間

chuugakusuugaku.hatenablog.com

2020-04-02

【基礎を解説】中学1年数学《正負の数》「15. 正負の数の要点まとめ」

中学1年数学

15．正負の数のまとめ

１．正負の数の表し方

★ ポイント

・0より大きい数を正の数といい，正の符号 +（プラス）をつけて表す．

・0より小さい数を負の数といい，負の符号 −（マイナス）をつけて表す．

・0は正でも負でもない数である．

例

1．次の数を，正の符号，負の符号をつけて表しましょう．

⑴　0より7大きい数

＋7

0より大きい数なので正の数である．よって，正の符号＋をつけて　＋7

⑵　0より11小さい数

－11

0より小さい数なので負の数である．よって，負の符号－をつけて－11

2．次の▢にあてはまる数を書きましょう．

　地点Aから東へ5 ㎞進むことを＋5 ㎞と表すとき，Aから西へ9 ㎞進むことは▢ ㎞と表すことができる．

－9

ここでは地点Aから東へ進むことを＋としているので，Aから西へ進むことは－で表される．

西へ9 ㎞進むので，－9 ㎞と表す．

2．絶対値

★ ポイント　

・絶対値は，その数から，＋，－の符号をとった数と考えればよい．

例　＋5の絶対値は5

　　－8の絶対値は8

3．数の大小

★ ポイント

・数の大小は不等号　「<」，「>」，「≦」，「≧」で表す．

例

＋3 　＞－5

－6　＜　0

－7　＜　0　＜　3

※　3つ以上の数の大小は，■＜▲＜〇のように，不等号の向きをそろえよう

4．たし算

★ ポイント

・たし算のことを加法（かほう）といい，その結果を和という．

・符号が同じ2数の和は，絶対値の和に共通の符号をつける．

・符号が異なる2数の和は，絶対値の差に絶対値の大きいほうの符号をつける．

例

⑴（－1）＋（－4）＝－（1＋4）＝－5

⑵（＋6）＋（－3）＝＋（6－3）＝＋3

5．ひき算

★ ポイント

ひき算のことを減法（げんぽう）といい，その結果を差という．

例

⑴　（＋4）－（＋5）

　＝（＋4）－5

　＝　－1

下線部が異なる符号の場合，－になる

⑵　（－6）－（－3）

　＝（－6）＋3

　＝　－3

下線部が同じ符号の場合，＋になる

6．たし算とひき算の混じった計算①

★ ポイント

・たし算だけの式で，＋で結ばれた各数を項という

・加法の交換法則：■＋〇＝〇＋■，

・加法の結合法則：（■＋〇）＋▲＝■＋（〇＋▲）

例

1．次の式の正の項，負の項を答えましょう．

⑴（＋3）＋（－8）－（＋5）－（－7）

＝（＋3）＋（－8）＋（－5）＋（＋7）

項は，たし算だけの式で，＋で結ばれたものだから

たし算だけの式に直すよ！

上の式で項は，カッコで囲まれている＋3，－8，－5，＋7である

それらのうち，正の数のものが正の項，負の数のものが負の項である．

正の項：＋3，＋7

負の項：－8，－5

2．次の計算をしましょう．

⑴（＋4）＋（－5）－（－6）

＝（＋4）＋（－5）＋（＋6）

たし算だけの式に直す

＝（＋10）＋（－5）

正の項の和，負の項の和，それぞれ別に計算する

＝（＋10）－ 5

＝　＋5

※正の項の和，負の項の和をそれぞれ別に計算できるのは，

　加法の交換法則：■＋〇＝〇＋■，

　加法の結合法則：（■＋〇）＋▲＝■＋（〇＋▲）

　という法則があるからだよ！

　上の法則から，

「たし算の場合，順序を入れ替えても成立する」ということがわかるね！

7．たし算とひき算の混じった計算②

例

１．次の式を，かっこと加法の記号＋をはぶいた式に直しましょう．

⑴　6＋（－7）－（＋5）

＝　6＋（－4）＋（－5）

＝　6－4－5

たし算だけの式に直し，かっこと記号＋をはぶく！

2．次の計算をしましょう．

⑴　－1＋6－7

＝　6－1－7

＝　6－8

＝　－2

⑵　－4＋9＋5－6

＝　9＋5－4－6

＝　14－10

＝　4

下線部に注目してみよう！

正の項，負の項の和をそれぞれ求めているよ．

※難しいって思う場合は，正の項，負の項に分けずに，左から順番に計算しても大丈夫だよ！

答えに＋4 　と書かずに　4　と書いてあるのは，

計算の結果が正の数のときは，符号＋をはぶくことができるからだよ！

8．かけ算

★ ポイント

かけ算のことを乗法（じょうほう）といい，その結果を積という．

例

1．次の計算をしましょう．

⑴　（－3）×（－2）

＝　＋（3×2）

＝　6

同符号のかけ算は，答えが正になる！

⑵　（＋4）×（－5）　

＝　－（4×5）

＝　－20

異符号のかけ算は，答えが負になる！

9．3つの数のかけ算

★ ポイント

・いくつかの数のかけ算に積の符号は

　　負の数が偶数個　⇒　＋

　　負の数が奇数個　⇒　－

・乗法の交換法則・・・■×〇＝〇×■

・乗法の結合法則・・・（■×〇）×▲＝■×（〇×▲）

・乗法の交換法則・・・■×〇＝〇×■

・乗法の結合法則・・・（■×〇）×▲＝■×（〇×▲）

この2つの法則から，かけ算は，かける順序を変えても答えは同じだということがわかるね！

例

⑴　（－3）×　4　×（－6）

＝　＋（3×4×6）

＝　72

負の数が2個だから，積の符号は＋になる

⑵　（－2）×（－3）×（－4）

＝　－（2×3×4）

＝　－24

負の数が3個だから，積の符号は－になる

10．累乗

★ ポイント

・同じ数をいくつかかけ合わせた数を累乗という．

・かけ合わせた個数を表す数字を指数といい，右上に小文字で示す．

例

１．次の積を，累乗の指数を使って表しましょう．

⑴　4×4

＝　4²

⑵（－5）×（－5）×（－5）

＝（－5)³

（－5）を3個かけ合わせた数だね．

2．次の計算をしましょう．

⑴　6²

＝　6×6

＝　3

⑵　(－7)²

＝（－7）×（－7）

＝　49

（－7）を2個かけ合わせた数だね．

⑶　－7²

＝　－（7×7）

＝　－49

これは， 7を2個かけ合わせた数に－をつけた数だよ．

⑵との違いに注意しよう！

11．わり算

★ ポイント

・わり算のことを除法（じょほう）といい，その結果を商という

・0を正の数でわっても，負の数で割っても商は0になる．また，0でわる除法は考えない．

・符号が同じ2数の商は，絶対値の商に正の符号をつける．

・符号が異なる2数の商は，絶対値の商に負の符号をつける．

例

１．次の計算をしましょう．

⑴　（－12）÷（－4）

＝　＋（12÷4）

＝　3

符号が同じ2数の商は，絶対値の商に正の符号をつける．

⑵　（－35）÷（＋7）

＝　－（35÷7）

＝　－5

符号が異なる2数の商は，絶対値の商に負の符号をつける．

12．逆数とかけ算

★ ポイント

・その数にかけ合わせると１になる数を逆数という．

例えば，

3の逆数は ${\frac{1}{3}}$ である．

3　×　 ${\frac{1}{3}}$ ＝　1

このように，かけ合わせると1になることがわかる！

例

1．次の数の逆数を求めましょう．

⑴　 ${\frac{3}{5}}$

${\frac{5}{3}}$

⑵　－ ${\frac{7}{4}}$

－ ${\frac{4}{7}}$

負の数の逆数は負の数だね

2．次の計算をしましょう．

⑴　 ${\frac{1}{3}}$ 　÷　（－ ${\frac{4}{9}}$ ）

＝　 ${\frac{1}{3}}$ 　×　（－ ${\frac{9}{4}}$ ）

＝　－ ${\frac{3}{4}}$

わり算は，わる数の逆数をかけるかけ算に直して計算しよう！

13．かけ算とわり算の混じった計算

★ ポイント

　かけ算とわり算の混じった式は，かけ算だけの式に直して計算する．次に，式の中の負の数の個数に着目して，積の符号を決める．

例

1．次の計算をしましょう．

⑴　（－20）×　 ${\frac{2}{5}}$ 　÷　（－3）

＝　（－20）×　 ${\frac{2}{5}}$ 　×　（－ ${\frac{1}{3}}$ ）

＝　＋（20　×　 ${\frac{2}{5}}$ 　×　 ${\frac{1}{3}}$ ）

＝　 ${\frac{8}{3}}$

まず，かけ算だけの式に直す．

負の数は2個だから，積の符号は＋

絶対値の積を計算し，＋の符号をつける．

14．いろいろな計算

★ ポイント

・（　）の中・累乗　→　かけ算・わり算　→　たし算・ひき算の順に計算する．

・分配法則：（■＋〇）×▲＝■×▲＋〇×▲，（■－〇）×▲＝■×▲－〇×▲

例

１．次の計算をしましょう．

⑴　（－4）×5－8÷（－2）

＝　－20　＋4

＝　－16

かけ算・わり算を先に計算する

計算の順番に注意しよう！

⑵　（5－2）×4³

＝　3　×　64

＝　192

（　）の中・累乗を先に計算する

2．分配法則を利用して，次の計算をしましょう

（ ${\frac{3}{2}}$ － ${\frac{4}{7}}$ ）×14

＝ ${\frac{3}{2}}$ ×14－ ${\frac{4}{7}}$ ×14

＝21－8

＝13

分配法則を利用することで計算を簡単にしているよ！

2020-04-01

【基礎を解説】中学1年数学《正負の数》「14．いろいろな計算」

中学1年数学

14．いろいろな計算

★ ポイント

・（　）の中・累乗　→　かけ算・わり算　→　たし算・ひき算の順に計算する．

・分配法則：（■＋〇）×▲＝■×▲＋〇×▲，（■－〇）×▲＝■×▲－〇×▲

例

１．次の計算をしましょう．

⑴　（－4）×5－8÷（－2）

＝　－20　＋4

＝　－16

かけ算・わり算を先に計算する

計算の順番に注意しよう！

⑵　（5－2）×4³

＝　3　×　64

＝　192

（　）の中・累乗を先に計算する

2．分配法則を利用して，次の計算をしましょう

（ ${\frac{3}{2}}$ － ${\frac{4}{7}}$ ）×14

＝ ${\frac{3}{2}}$ ×14－ ${\frac{4}{7}}$ ×14

＝21－8

＝13

分配法則を利用することで計算を簡単にしているよ！

＜例題＞

1．次の計算をしましょう．

⑴　（－7）×2－6÷（－3）

⑵　5＋3×（－2）

⑶　10－30÷6

⑷　（3－5）×3²

⑸　9＋（4－2）×3

2．分配法則を利用して，次の計算をしましょう．

⑴　（ ${\frac{5}{2}}$ － ${\frac{7}{3}}$ ）×6

⑵　82×（－7）＋18×（－7）

解答

1．次の計算をしましょう．

⑴　（－7）×2－6÷（－3）

＝　－14＋2

＝　－12

⑵　5＋3×（－2）

＝　5－6

＝　－1

⑶　10－30÷6

＝　10－5

＝　5

⑷　（3－5）×3²

＝　－2×9

＝　－18

⑸　9＋（4－2）×3

＝　9＋2×3

＝　9＋6

＝　15

2．分配法則を利用して，次の計算をしましょう．

⑴　（ ${\frac{5}{2}}$ － ${\frac{7}{3}}$ ）×6

＝　 ${\frac{5}{2}}$ ×6－ ${\frac{7}{3}}$ ×6

＝　15－14

＝　1

分配法則（■－〇）×▲＝■×▲－〇×▲

を利用している

⑵　82×（－7）＋18×（－7）

＝　（82＋18）×（－7）

＝　100×（－7）

＝　－700

分配法則（■＋〇）×▲＝■×▲＋〇×▲

を右辺から左辺の方向に注目すると

分配法則を利用していることがわかる

解答のポイント

・（　）の中・累乗　→　かけ算・わり算　→　たし算・ひき算の順に計算する．

・分配法則：（■＋〇）×▲＝■×▲＋〇×▲，（■－〇）×▲＝■×▲－〇×▲

間違えた問題は，できるようになるまで，繰り返し練習しよう！

chuugakusuugaku.hatenablog.com

2020-03-31

【基礎を解説】中学1年数学《正負の数》「13．かけ算とわり算の混じった計算」

中学1年数学

13．かけ算とわり算の混じった計算

★ ポイント

　かけ算とわり算の混じった式は，かけ算だけの式に直して計算する．次に，式の中の負の数の個数に着目して，積の符号を決める．

例

1．次の計算をしましょう．

⑴　（－20）×　 ${\frac{2}{5}}$ 　÷　（－3）

＝　（－20）×　 ${\frac{2}{5}}$ 　×　（－ ${\frac{1}{3}}$ ）

＝　＋（20　×　 ${\frac{2}{5}}$ 　×　 ${\frac{1}{3}}$ ）

＝　 ${\frac{8}{3}}$

まず，かけ算だけの式に直す．

負の数は2個だから，積の符号は＋

絶対値の積を計算し，＋の符号をつける．

＜例題＞

1．次の計算をしましょう．

⑴　（－11）×　7　÷（－3）

⑵　42　÷　（－3）　÷　7

⑶　 ${\frac{2}{5}}$ 　÷　（－21）　×　 ${\frac{7}{3}}$

⑷　（－ ${\frac{2}{5}}$ ）÷（－ ${\frac{7}{9}}$ 　÷　（－ ${\frac{2}{3}}$ ）

解答

1．次の計算をしましょう．

⑴　（－11）×　7　÷（－3）

＝　（－11）×　7　×（－ ${\frac{1}{3}}$ ）

＝　＋（11　×　7　×　 ${\frac{1}{3}}$ ）

＝　 ${\frac{77}{3}}$

まず，かけ算だけの式に直す．

負の数は2個だから，積の符号は＋

絶対値の積を計算し，＋の符号をつける．

⑵　42　÷　（－3）　÷　7

＝　42　×　（－ ${\frac{1}{3}}$ ）　×　 ${\frac{1}{7}}$

＝　－（42　×　 ${\frac{1}{3}}$ 　×　 ${\frac{1}{7}}$ ）

＝　－2

まず，かけ算だけの式に直す．

負の数は1個だから，積の符号は－

絶対値の積を計算し，－の符号をつける．

⑶　 ${\frac{2}{5}}$ 　÷　（－21）　×　 ${\frac{7}{3}}$

＝　 ${\frac{2}{5}}$ 　×（－ ${\frac{1}{21}}$ ）×　 ${\frac{7}{3}}$

＝　－（ ${\frac{2}{5}}$ 　×　 ${\frac{1}{21}}$ 　×　 ${\frac{7}{3}}$ ）

＝　－ ${\frac{2}{45}}$

⑷　（－ ${\frac{2}{5}}$ ）÷（－ ${\frac{7}{9}}$ 　÷　（－ ${\frac{2}{3}}$ ）

＝　（－ ${\frac{2}{5}}$ ）×（－ ${\frac{9}{7}}$ 　×　（－ ${\frac{3}{2}}$ ）

＝　－（ ${\frac{2}{5}}$ 　×　 ${\frac{9}{7}}$ 　×　 ${\frac{3}{2}}$ ）

＝　－ ${\frac{27}{35}}$

解答のポイント

かけ算とわり算の混じった式は，かけ算だけの式に直して計算する．次に，式の中の負の数の個数に着目して，積の符号を決める．

間違えた問題は，できるようになるまで，繰り返し練習しよう！

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2020-03-30

【基礎を解説】中学1年数学《正負の数》「12．逆数とわり算」

中学1年数学

12．逆数とわり算

★ ポイント

・その数にかけ合わせると１になる数を逆数という．

例えば，

3の逆数は ${\frac{1}{3}}$ である．

3　×　 ${\frac{1}{3}}$ ＝　1

このように，かけ合わせると1になることがわかる！

例

1．次の数の逆数を求めましょう．

⑴　 ${\frac{3}{5}}$

${\frac{5}{3}}$

⑵　－ ${\frac{7}{4}}$

－ ${\frac{4}{7}}$

負の数の逆数は負の数だね

2．次の計算をしましょう．

⑴　 ${\frac{1}{3}}$ 　÷　（－ ${\frac{4}{9}}$ ）

＝　 ${\frac{1}{3}}$ 　×　（－ ${\frac{9}{4}}$ ）

＝　－ ${\frac{3}{4}}$

わり算は，わる数の逆数をかけるかけ算に直して計算しよう！

＜例題＞

1．次の数の逆数を求めましょう．

⑴　 ${\frac{2}{3}}$

⑵　－ ${\frac{7}{3}}$

⑶　4

⑷　0.7

2．次の計算をしましょう．

⑴　 ${\frac{4}{3}}$ 　÷　（－ ${\frac{4}{9}}$ ）

⑵　20　÷　 ${\frac{10}{7}}$

⑶　（－ ${\frac{9}{7}}$ ）　÷　(－6)

解答

1．次の数の逆数を求めましょう．

⑴　 ${\frac{2}{3}}$

${\frac{3}{2}}$

⑵　－ ${\frac{7}{3}}$

－ ${\frac{3}{7}}$

⑶　4

4＝ ${\frac{4}{1}}$

${\frac{1}{4}}$

整数は分数に直すとイメージしやすい！

⑷　0.7

0.7＝ ${\frac{7}{10}}$

${\frac{10}{7}}$

小数は分数に直してから考えよう！

2．次の計算をしましょう．

⑴　 ${\frac{4}{3}}$ 　÷　（－ ${\frac{4}{9}}$ ）

＝　 ${\frac{4}{3}}$ 　×　（－ ${\frac{9}{4}}$ ）

＝　－3

⑵　20　÷　 ${\frac{10}{7}}$

＝　20　×　 ${\frac{7}{10}}$

＝　14

⑶　（－ ${\frac{9}{7}}$ ）　÷　(－6)

＝　（－ ${\frac{9}{7}}$ ）　×　（－ ${\frac{1}{6}}$ ）

＝　　 ${\frac{3}{14}}$

解答のポイント

わり算は，わる数の逆数をかけるかけ算に直して計算しよう！

間違えた問題は，できるようになるまで，繰り返し練習しよう！

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2020-03-29

【基礎を解説】中学1年数学《正負の数》「11．わり算」

中学1年数学

11．わり算

★ ポイント

・わり算のことを除法（じょほう）といい，その結果を商という

・0を正の数でわっても，負の数で割っても商は0になる．また，0でわる除法は考えない．

・符号が同じ2数の商は，絶対値の商に正の符号をつける．

・符号が異なる2数の商は，絶対値の商に負の符号をつける．

例

１．次の計算をしましょう．

⑴　（－12）÷（－4）

＝　＋（12÷4）

＝　3

符号が同じ2数の商は，絶対値の商に正の符号をつける．

⑵　（－35）÷（＋7）

＝　－（35÷7）

＝　－5

符号が異なる2数の商は，絶対値の商に負の符号をつける．

＜例題＞

1．次の計算をしましょう．

⑴　（－15）÷（－3）

⑵　（－21）÷（＋7）

⑶　（＋28）÷　（－4）

⑷　36÷（－6）

⑸　－54÷9

⑹　0÷（－11）

解答

1．次の計算をしましょう．

⑴　（－15）÷（－3）

＝　＋（15÷3）

＝　5

符号が同じ2数の商は，絶対値の商に正の符号をつける．

⑵　（－21）÷（＋7）

＝　－（21÷7）

＝　－3

符号が異なる2数の商は，絶対値の商に負の符号をつける．

⑶　（＋28）÷　（－4）

＝　－（28÷4）

＝　－7

⑷　36÷（－6）

＝　－（36÷6）

＝　－6

⑸　－54÷9

＝　－（54÷9）

＝　－6

⑹　0÷（－11）

＝　0

0を正の数でわっても，負の数で割っても商は0になる．

解答のポイント

・0を正の数でわっても，負の数で割っても商は0になる．また，0でわる除法は考えない．

・符号が同じ2数の商は，絶対値の商に正の符号をつける．

・符号が異なる2数の商は，絶対値の商に負の符号をつける．

間違えた問題は，できるようになるまで，繰り返し練習しよう！

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2020-03-28

【基礎を解説】中学1年数学《正負の数》「10．累乗」

中学1年数学

10．累乗

★ ポイント

・同じ数をいくつかかけ合わせた数を累乗という．

・かけ合わせた個数を表す数字を指数といい，右上に小文字で示す．

例

１．次の積を，累乗の指数を使って表しましょう．

⑴　4×4

＝　4²

⑵（－5）×（－5）×（－5）

＝（－5)³

（－5）を3個かけ合わせた数だね．

2．次の計算をしましょう．

⑴　6²

＝　6×6

＝　3

⑵　(－7)²

＝（－7）×（－7）

＝　49

（－7）を2個かけ合わせた数だね．

⑶　－7²

＝　－（7×7）

＝　－49

これは， 7を2個かけ合わせた数に－をつけた数だよ．

⑵との違いに注意しよう！

＜例題＞

1．次の積を，累乗の指数を使って表しましょう．

⑴　2×2×2

⑵　（－6）×（－6）×（－6）

2．次の計算をしましょう．

⑴　4²

⑵　(－3)³

⑶　－3⁴

⑷　（－5）×　3²

解答

1．次の積を，累乗の指数を使って表しましょう．

⑴　2×2×2

＝　2³

⑵　（－6）×（－6）×（－6）

＝　(－6)³

2．次の計算をしましょう．

⑴　4²

＝　4×4

＝　16

⑵　(－3)³

＝　（－3）×（－3）×（－3）

＝　－27

⑶　－3⁴

＝　－（3×3×3×3）

＝　－81

これは，3を4個かけ合わせた数に－をつけたもの！

(－3)⁴ との違いに注意しよう！

⑷　（－5）×　3²

＝　（－5）×　9

＝　－45

累乗が混じったかけ算は，まず累乗の部分を計算し，次にかけ算を計算する！

★ 解答のポイント

　 (－▲)²

＝（－▲）×（－▲）

　　－▲²

＝　－（▲×▲）

この2つの計算の違いに注意しよう！

間違えた問題は，できるようになるまで，繰り返し練習しよう！

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チュウガクスウガク

中学数学の基礎を解説する大学生のブログ

【基礎を解説】中学1年数学《文字と式》「16．文字を使った式」

【基礎を解説】中学1年数学《正負の数》「15. 正負の数の要点まとめ」

【基礎を解説】中学1年数学《正負の数》「14．いろいろな計算」

【基礎を解説】中学1年数学《正負の数》「13．かけ算とわり算の混じった計算」

【基礎を解説】中学1年数学《正負の数》「12．逆数とわり算」

【基礎を解説】中学1年数学《正負の数》「11．わり算」

【基礎を解説】中学1年数学《正負の数》「10．累乗」